Perpangkatan Bilangan

 

Bilangan Berpangkat Bilangan Bulat

Materi untuk bilangan berpangkat dan bentuk akar yang pertama adalah mengenai bilangan berpangkat untuk bilangan bulat. Apakah maksudnya? Dan bagaimana cara menyelesaikan soalnya?

Pengertian Perpangkatan Bilangan

Perpangkatan adalah operasi matematika untuk perkalian berulang suatu bilangan sebanyak pangkatnya. Pangkat suatu bilangan adalah angka yang ditulis lebih kecil dan terdapat agak ke atas. Berdasarkan semantik penulisan huruf disebut dengan superscript, contoh: 2², 3², 4³, dan lainnya.

Bilangan berpangkat dapat diperoleh dari perkalian berulang dengan faktor-faktor yang sama.

Bilangan Berpangkat Bilangan Bulat

Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat yang memiliki nilai positif, bilangan bulat dengan nilai negating, dan nol. Maka dapat disumpulkan bahwa bilangan berpangkat bilangan bulat adalah bilangan-bilangan yang berpangkat positif, negatif, dan nol.

1.    Bilangan Berpangkat 0

Untuk bilangan bulat dengan pangkat 0, hasilnya adalah 1. Jadi, bilangan bulat apapun itu baik itu nilainya negatif atau positif, jika dipangkatkan dengan 0 maka hasilnya adalah 1, tapi ini tidak berlaku untuk bilangan bulat 0.

Untuk membuktikan n0 = 1, kita dapat menggunakan sifat operasi perpangkatan yang nomor (2), yakni pembagian bilangan berpangkat:
n^a : n^b = n^a-b atau jika dibalik
n^a-b = n^a : n^b.
Jika n ≠ 0 dan a=b, maka:
n^a-b = n^a : n^b
n^a-a = n^a : n^a ; karena a-a = 0 dan n^a : n^a = 1, maka
n⁰ = 1 (terbukti)

2. Bilangan Berpangkat Bulat Positif

Beberapa sifat dari bilangan berpangkat bulat positif, diantaranya adalah sebagai berikut ini:

·         a^mx aⁿ = a^m+n

·         a^m : aⁿ = a^{m-n ,} untuk m>n dan b ≠ 0

·         (a^m)ⁿ = a^mn

·         (ab)^m = a^m b^m

·         (a/b)^m = a^m/b^m , untuk b ≠ 0

3. Bilangan Berpangkat Bulat Negatif

Untuk sifat bilangan berpangkat bulat negatif adalah:

Jika a∈R, a ≠ 0, dan n merupakan bilangan bulat negatif, maka:

a^-n = 1/aⁿ atau aⁿ = 1/ a^-n

Operasi Hitung yang Melibatkan Bilangan Berpangkat

Ada beberapa hal yang harus diperhatikan sebelum kamu mengerjakan soal operasi hitung yang melibatkan bilangan berpangkat, antara lain:

1.    Kerjakan operasi dalam kurung terlebih dahulu

2.    Lanjutkan dengan operasi perpangkatan

3.    Kerjakan operasi perkalian dan pembagian

4.    Kerjakan operasi penjumlahan atau pengurangan.

Oke, sekarang kita akan masuk ke dalam pembahasan operasi hitung yang ada pada bilangan berpangkat. Ada 2 hal yang akan dibahas, yaitu perkalian dan pembagian.

Perkalian Pada Perpangkatan

Pada operasi hitung perkalian dalam bilangan berpangkat, berlaku sifat seperti di bawah ini:

am x an = am+n

Untuk lebih memahami tentang perkalian pada perpangkatan, perhatikan contoh berikut:

6³ x 6² = (6 x 6 x 6) x (6 x 6)

6³ x 6² = 6 x 6 x 6 x 6 x 6

6³ x 6² = 6⁵

Sehingga dapat kita simpulkan menjadi 6³ x 6² = 6²⁺³ = 6⁵

Namun, ada sebuah pengecualian untuk kasus bilangan pokok yang berpangkat negatif. Ada beberapa poin yang harus kamu ketahui:

Bilangan negatif pangkat genap	= Hasilnya positif
Bilangan negatif pangkat ganjil	= Hasilnya negatif

 

Pembagian pada Perpangkatan

Untuk operasi hitung pembagian pada perpangkatan, maka akan berlaku sifat seperti di bawah ini:

am : an = am-n

Agar dapat memahami pemahaman diatas, berikut ini adalah contoh soalnya:

6⁶ x 6³ = (6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6) x (6 x 6 x 6)

6⁶ x 6³ = 6 x 6 x 6 ((6 x 6 x 6) x (6 x 6 x 6))

6⁶ x 6³ = 6³

Sehingga, bisa kita simpulkan menjadi 6⁶ x 6³ = 6^6-3 = 6³

 

Bentuk Pangkat Sederhana

Jika terdapat suatu persamaan pangkat sederhana a^f(x) = aⁿ di mana a ∊ R yang tidak sama dengan 0, maka untuk menyelesaikan permasalahan terebut harus disamakan ruas kiri dengan ruas kanan. Jika kurang paham, perhatikan contoh berikut:

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan-persamaan di bawah ini !

3^{1 + x} = 81

Jawab:

3^{1 + x}       = 81

3^{1 + x}       = 3⁴

1 + x      = 4

x            = 4 – 1 = 3

Jadi, HP = {3}.

Bentuk Akar dan Bilangan Berpangkat Pecahan

Sekarang akan dibahas untuk bentuk akar dan bagaimana jika bilangan bulat namun memiliki pangkat yang berbentuk pecahan? Apakah soal tersebut bisa diselesaikan? Apakah sama caranya dengan perpangkatan bilangan bulat dan pangkat bilangan bulat biasa?

Penarikan Akar Pangkat

Akar pangkat dua merupakan kebalikan dari pangkat dua. Akar pangkat dua (akar kuadrat) dilambangkan dengan tanda √ .

9² = 81 berarti √81 = 9

Akar kuadrat suatu bilangan dapat dicari dengan cara seperti berikut.

√625 = …

·     

o    Pisahkan dua angka di sebelah kanan dengan tanda titik menjadi 6. 25.

·         Carilah akar terbesar dari bilangan disebelah kiri titik (6) yaitu 2.

·         2²= 4, angka 4 ditulis dibawah angka 6 kemudian dikurangkan, yaitu 6 – 4 = 2.

·         Turunkan angka 25 melengkapi sisa 2 menjadi 2. 25.

·         Hasil penarikan akar tadi (2) kalikan 2 menjadi 4.

·         Carilah bilangan n yang memenuhi 4n × n sehingga hasil kalinya 225 atau bilangan terbesar di bawah 225. Pada contoh nilai n yang sesuai yaitu 5, sehingga 45 × 5 = 225

·         Angka 5 ini diletakkan melengkapi 2 hasil penarikan akar tadi menjadi 25.

·         Oleh karena 225 – 225 = 0 maka 25 merupakan hasil akhir penarikan akar kuadrat. Bila hasil pengurangannya belum nol maka lakukan penurunan angka berikutnya seperti langkah 4 dan 5. Jadi, √625 = 25.

 

Bilangan Berpangkat Bilangan Rasional

Pangkat rasional adalah bentuk pangkat pecahan. Rasio adalah perbandingan. Jadi, pangkatnya itu berupa pecahan.

Pangkat rasional mempunyai nilai sama dengan bentuk akar.

Sifat-Sifat Operasi Bilangan Berpangkat Bilangan Rasional

Untuk a dan b bilangan real, b≠0 dan m,n adalah bilangan rasional 

Bentuk Akar

Pada dasarnya sifat-sifat yang telah dimiliki oleh bilangan berpangkat juga dimiliki oleh bilangan bentuk akar, yakni:

Untuk bilangan real a, b dan n, m bilangan rasional berbentuk n=p/q dan m=s/t dengan p, q, s, t bilangan asli

dengan a dan b tidak negatif saat p atau s genap.

Sifat-Sifat Bentuk Akar

Untuk a, b, c, dan d bilangan real, berlaku:
1. Penjumlahan dan Pengurangan bentuk akar

2. Perkalian dan pembagian bentuk akar

Operasi Aljabar Bentuk Akar

Operasi aljabar yang sangat umum adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Pembahasannya adalah sebagai berikut:

a. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar

Rumus operasi penjumlahan bentuk akar:

a√c + b√c = (a + b) √c

Rumus operasi pengurangan bentuk akar:

a√c – b√c = (a – b) √c

b. Operasi Perkalian

Untuk masing-masing a dan b adalah bilangan rasional positif, maka rumus yang berlaku adalah:

√a x √b = √a x b

c. Operasi Pembagian

Untuk masing-masing a, b, p, dan q adalah bilangan rasional positif, maka rumus yang berlaku adalah:

(p√a)/(q√b)= p/q √(a/b)

Merasionalkan Penyebut Pecahan Bentuk Akar

Cara merasionalkan penyebut pecahan dengan bentuk akar dapat dikategorikan menjadi beberapa kategori. Di antaranya adalah:

a. Bentuk pecahan a/√b

Pada pecahan a/√b ada bilangan rasional a dan bentuk akar √b cara merasionalkannya adalah dengan membuat perkalian antara √b/√b dengan pecahannya. 

b. Bentuk pecahan atau c/a-√b atau c/a+√b

Cara merasionalkan bentuk akar selanjutnya berhubungan dengan pasangan hasil kali (a – √b) dan (a + √b), dimana bilangan rasional berupa a dan b serta bentuk akarnya berupa √b. Kedua pasangan hasil kali ini dapat diselesaikan dengan sifat distributif seperti (a + √b)( a – √b) = a² – a√b + a√b – b = a² – b.

Bilangan (a + √b) yang dikalikan dengan (a – √b) menghasilkan bilangan rasional. Dalam hal ini (a – √b) merupakan sekawan dari (a + √b) dan sebaliknya atau (a – √b) dan (a + √b) merupakan contoh sekawan bentuk akar.  Contohnya 3 – √2 sekawan dengan 3 + √2 dan 5 + √3 sekawan dengan 5 – √3.

Itulah tadi pembahasan untuk matematika SMP tentang bilangan berpangkat dan bentuk akar untuk kelas 9. Semoga bermanfaa