Fungsi Kuadrat

 

Pengertian Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat adalah sebuah fungsi polinom yang memiliki peubah/variabel dengan pangkat tertingginya adalah 2 (dua).

Secara umum fungsi kuadrat memiliki bentuk umum seperti berikut ini:

f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0

dengan f(x) = y yang merupakan variabel terikat, x adalah variabel bebas, sedangkan a, dan b merupakan koefisien dan c adalah suatu konstanta.

Hal ini tentunya berbeda dengan yang dinamakan persamaan kuadrat, yang mana persamaan kuadrat memiliki variabel dengan pangkat tertingginya adalah dua dan berbentuk persamaan.

Bentuk umum dari persamaan kuadrat adalah sebagai berikut:

ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0

dengan x adalah variabel bebas, a dan b adalah koefisien, serta c adalah konstanta.

Jenis-Jenis Fungsi Kuadrat

Sebelum kita membahas cara menggambar grafik fungsi kuadrat, akan kita bahas terlebih dahulu mengenai jenis-jenis lain dari fungsi kuadrat seperti di bawah ini:

1. Jika pada y = ax² + bx + c nilai b dan c adalah 0, maka fungsi kuadrat menjadi:

y = ax2

yang membuat grafik pada fungsi ini simetris pada x = 0 dan memiliki nilai puncak di titik (0,0)

2. Jika pada y = ax² + bx + c nilai b bernilai 0, maka fungsi kuadrat akan berbentuk:

y = ax2 + c

yang membuat grafik pada fungsi ini simetris pada x = 0 dan memiliki titik puncak di (0,c)

3. Jika titik puncak ada di titik (h,k), maka fungsi kuadrat menjadi:

y = a(x – h)2 + k

Setelah kita memahami jenis-jenis fungsi kuadrat yang lain, selanjutnya kita akan membahas cara melukis sebuah grafik fungsi kuadrat. Langkah-langkahnya sebagai berikut:

1.     Menentukan sumbu simetri: x = – ^b/_2a

2.     Menentukan titik potong kurva dengan sumbu x: misalkan y = 0, maka ax² + bx + c = 0

3.     Menentukan titik potong dengan sumbu y: misalkan x = 0, maka y = c

4.     Menentukan titik puncak: 1. y = b2 – 4ac/4a

Selain itu, terdapat ciri khusus dari grafik parabola dilihat dari fungsinya. Jika a > 0 maka parabola terbuka ke atas jika sebaliknya maka parabola terbuka ke bawah.

Kemudian pada fungsi kuadrat terdapat istilah diskriminan yang memiliki bentuk:

D = b2 – 4ac

 

 

Turunan Fungsi Aljabar

TURUNAN FUNGSI ALJABAR

Turunan fungsi aljabar adalah suatu fungsi diferensial dari fungsi aljabar. Pengertian dari turunan atau diferensial sendiri adalah suatu fungsi yang berubah seiring perubahan nilai input. Umumnya turunan dari fungsi f (x) dituliskan dalam bentuk f ‘(x).

KONSEP DASAR TURUNAN

Turunan mempunyai beberapa aturan dasar operasi, diantaranya adalah sebagai berikut.

• f(x), menjadi f'(x) = 0
• Jika f(x) = x, maka f’(x) = 1
• Aturan pangkat berlaku jika f(x) = xⁿ, maka f’(x) = n X ^{n – 1}
• Aturan kelipatan konstanta berlaku jika (kf) (x) = k. f’(x)
• Aturan rantai berlaku jika ( f o g ) (x) = f’ (g (x)). g’(x))

Berikut adalah operasi dasar turunan fungsi berupa penjumlaha, pengurangan, pengalian, dan pembagian.

• ( f + g )’ (x) = f’ (x) + g’ (x)
• ( f – g )’ (x) = f’ (x) – g’ (x)
• (fg)’ (x) = f’(x) g(x) + g’(x) f(x)
• ((f)/g )’ (x) = (g(x) f’ (x)- f(x) g’ (x))/((g(x)²)

Berbeda halnya dengan trigometri, berikut rumus dasar turunan trigonemetri.

• d/dx ( sin x ) = cos x
• d/dx ( cos x ) = – sin x
• d/dx ( tan x ) = sec² x
• d/dx ( cot x ) = – csc² x
• d/dx ( sec x ) = sec x tan x
• d/dx ( csc x ) = -csc x cot x

Turunan invers, yaitu nilai balik dari turunan. Secara matematis dapat dirumuskan sebagai berikut.

• (f^-1)(y) = 1/(f’ (x)), atau dy/dx atau 1/(dx/dy)

RUMUS TURUNAN FUNGSI ALJABAR

Berikut adalah beberapa rumus turunan dari fungsi aljabar.

1. Rumus turunan pangkat f (x) = xⁿ

Fungsi aljabar f (x) = xⁿ dengan pangkat tertentu dapat diturunkan ke dlaam bentuk f ‘(x) dengan menggunakan rumus berikut.

Rumus turunan fungsi f (x) = xⁿ adalah f ‘(x) = n xⁿ⁻¹

2. Rumus turuan hasil kali fungsi f (x) = u(x). v(x)

Ketika fungsi aljabar merupakan operasi perkalian, maka berikut rumus turunannya.

Rumus turunan fungsi f (x) = u(x). v(x) adalah f ‘(x) =u’v + uv‘

3. Rumus turunan fungsi pembagian f(x) = u(x) / v(x)

Mencari turnan fungsi aljabar berupa pembagian bisa diselesaikan dengan cara berikut.

Rumus turunan fungsi f (x) = u(x) / v(x) adalah f ‘(x) =u’v − uv‘ / v²

4. Rumus turunan pangkat dari fungsi f x = (u (x))ⁿ

Jika harus menurunkan fungsi turunan kembali, maka bisa diselesaikan dengan cara berikut.

5. Rumus turunan trigonometri

Dalam fungsi trigometri, berikut adalah rumus turunanya.

Peluang

 Peluang

 

Pengertian Peluang

Peluang dapat diartikan sebagai besarnya kemungkinan atau probabilitas berlangsungnya suatu kejadian. Penerapan konsep peluang tidak hanya di terapkan pada hal-hal yang simpel seperti pada permainan dadu saja, namun konsep peluang juga diterapkan pada hal-hal yang bersifat kompleks seperti ramalan cuaca, asuransi, investasi, dan lainnya.

Konsep Dasar Peluang

Konsep dasar dari peluang dirincikan menurut besaran-besaran apa yang harus dikuasai. Konsep ini diperoleh melalui percobaan. Konsep dasar peluang meliputi ruang sampel dan titik sampel. Berikut uraiannya;

1). Ruang sampel

Ruang sampel yaitu himpunan semua kemungkinan hasil yang diperoleh dari suatu percobaan. Ruang sampel dinyatakan dengan huruf ” s “. Sebagai contoh ruang sampel pada dadu yaitu angka 1,2,3,4,5,6.

2). Titik Sampel

Titik sampel yaitu bagian dari ruang sampel . Titik sampel contohnya pada saat kita melemparkan sebuah dadu, salah satu kemungkinan angka yang akan keluar adalah 4.

Contoh Soal :

Dari satu set kartu bridge, akan diambil satu kartu secara acak. Tentukanlah ruang sampel percobaan tersebut!.

Pembahasan;

Dari satu set kartu bridge terdapat empat jenis kartu yaitu sekop, wajik, dan keriting. Masing-masing kartu tersebut terdiri dari 13 kartu yaitu as hingga King.

Peluang Klasik

Peluang klasik yaitu peluang awal yang dipelajari oleh matematikawan pada abad ke 17 dan 18. Semua kejadian yang akan berlaku ditentukan melalui ruang sampel.

Peluang jenis ini, semua kejadiannya diasumsikan mempunyai peluang yang sama untuk terjadi. Contohnya saat kamu mengambil satu set kartu bridge. Maka masing-masing kartu yang akan kamu ambil mempunyai peluang yang sama yaitu 1/52.

Pada saat kamu menentukan peluang kejadian A, kamu harus membandingkan antara banyaknya kejadian A dan banyaknya keluaran pada ruang sampel. Secara matematis kejadian A dituliskan dengan;

Untuk memahaminya, simaklah contoh soal berikut;

Contoh Soal

Pada sebuah set kartu bridge akan diambil kartu merah bernomor 10 . Tentukanlah peluang terambilnya kartu merah bernomor 10!.

Pembahasan;

Satu set kartu bridge isinya 52 kartu. Artinya, banyaknya ruang sampel pada percobaan tersebut n(S) = 2. Sedangkan terambilnya kartu merah yang bernomor 10 menunjukkan n(A) =2

Sehingga menurut teori peluang klasik diperoleh;

Jadi peluang terambilnya kartu berwarna merah bernomor 10 ialah sebesar 1/6

Kejadian Kejadian Komplemen

Ada konsep penting lain mengenai materi peluang yang perlu dipelajari yakni kejadian komplemen. Komplomen Kejadian A yaitu complement yang terjadinya kejadian di ruang sampel selain A. Kejadian komplemen ini umumnya dinyatakan dengan Ac . Secara matematis, kejadian komplemen dirumuskan dengan;

n(Ac) = n(S) – n(A)

Karena semua jumlah kejadian = 1. Maka persamaan di atas tas dapat menjadi;

P(A)+P(Ac)+1 atau P(Ac)=1- P(A)

Untuk lebih memahaminya, coba simaklah contoh soal berikut

Contoh Soal;

Jika diketahui peluang siswa SMA Taruna yang akan gagal dalam ujian ialah sebesar 0,001, maka tentukanlah peluang siswa SMA Taruna yang akan berhasil dalam ujian!.

Pembahasan;

Jika A dimisalkan sebagai siswa SMA Taruna yang akan gagal dalam ujian . Maka dengan demikian ,Ac adalah peluang siswa SMA Taruna yang berhasil dalam ujian.

Menurut persamaan komplemen, kejadian yang diperoleh;

P(Ac) = P(A)

= 1 – 0,000

= 0,9999

jadi besarnya peluang siswa SMA Taruna yang berhasil di dalam ujian yaitu 0,0 9999

Peluang Empirik

Peluang empirik yaitu peluang terjadinya suatu kejadian yang di dapatkan dari hasil pengamatan atau kejadian nyata. Secara matematis peluang empirik dirumuskan dengan;

contoh soal :

Sebuah perusahaan ingin melakukan penelitian mengenai pilihan transportasi masyarakat dari daerah Jakarta ke Bandung. Perusahaan tersebut mempunyai 100 responden yang diambil dari beberapa kecamatan yang ada di Jakarta. Dari hasil penelitian tersebut data yang diperoleh ditampilkan pada tabel berikut;

Tentukanlah peluang masyarakat memilih memilih transportasi mobil umum dari Jakarta menuju Bandung!

Pembahasan;

Apabila A dimisalkan sebagai masyarakat yang memilih mobil umum, maka artinya f(A) = 15. Sehingga, peluang kejadian A dinyatakan dengan;

Jadi, peluang masyarakat untuk memilih transportasi mobil umum dari Bandung menuju Jakarta ialah sebesar 0,5 atau 15%.

Aturan Penjumlahan Peluang

Aturan penjumlahan peluang merupakan sebuah cara yang dipakai pada saat dua kejadian atau lebih berlangsung secara beriringan. Seperti pada kasus.

1. Kejadian Tak Saling Lepas

Saat di sekolahmu diadakan pemilihan ketua OSIS. Pada saat ingin memilih Ketua Osis, kamu ingin mengetahui apakah calon ketua OSIS tersebut pintar ataukah tampan, atau hanya pintar saja namun tidak tampan, atau tampan saja namun tidak pintar.

Nah, kejadian semisal itu dinamakan dengan kejadian tidak saling lepas.

Kejadian A dan kejadian B yang tidak saling dirumuskan dengan;

2. Kejadian Saling Lepas

Pada saat kamu ingin mengetahui calon ketua OSIS. Apakah calonnya laki-laki atau perempuan. Maka tidak mungkin secara bersamaan laki-laki atau perempuan.

Nah, kejadian tersebut dinamakan dengan kejadian saling lepas.

Kejadian A dan kejadian B yang saling lepas secara matematis dirumuskan dengan;

Aturan Perkalia Berulang

Pada dasarnya, aturan perkalian hampir serupa dengan aturan penjumlahan. Yang membedakannya yakni pada contoh kasus;

1. Kejadian Tak Saling Lepas

Kejadian tidak saling bebas contohnya;

Kita mempunyai 4 lusin buku, dengan rincian 1 lusin buku sejarah, 1 lusin buku sains, 1 lusin buku novel, dan 1 lusin buku fiksi. Pada saat kita mengambil 1 buku tanpa mengembalikannya, maka akan mempengaruhi jumlah keseluruhan buku.

Jadi, peluang pengambilan buku yang kedua kalinya akan mengalami perbedaan, karena buku belum dikembalikan ke rak buku.

Kejadian A dan Kejadian B yang tidak saling bebas , secara matematis dirumuskan dengan;

2. Kejdian Saling Lepas

Kejadian saling bebas contohnya;

Kita mempunyai koin 1 ribu dan 1 dadu, kemudian kita melemparnya secara bersamaan. Pada saat kita ingin mengetahui peluangnya munculnya koin gambar angklung dan dadu nomor 5.

karena koin dan dadu tidak mempunyai pengaruh satu sama lain, maka kejadian tersebut disebut dengan kejadian saling bebas.

Kejadian A dan Kejadian B yang saling bebas , secara matematis dirumuskan dengan;

Peluang Bersyarat

Persamaan yang berlaku pada persamaan tidak saling bebas yaitu;

P (B | A) dibaca “Peluang kejadian B terjadi setelah A”

Nah, Untuk menambah kemampuan sobat mengenai aturan penjumlahan, perkalian, dan peluang kejadian bersyarat. Simaklah contoh soal berikut;

Contoh :

Di bawah ini merupakan data sebaran anggota serikat buruh yang diambil dari 5 kota besar di Indonesia;

Apabila akan diadakan pemilihan ketua serikat buruh yang diambil dari satu orang secara acak. Tentukanlah peluang terpilihnya ketua serikat buruh dari kota Bandung atau Padang!

Pembahasan;

Diketahui: n = 1297

Apabila A diumpamakan sebagai kejadian peluang terpilihnya ketua serikat buruh dari kota Bandung, dan B sebagai kejadian peluang terpilihnya ketua serikat buruh dari Padang. Maka kedua peristiwa tersebut tidak mungkin terjadi secara bersamaan, sehingga disebut dengan kejadian saling lepas. Penyelesaiannya;

Jadi peluang untuk terpilihnya ketua serikat buruh dari kota Bandung atau Padang yaitu sebesar 427/1297 

Relasi dan Fungsi

 

 Relasi dan Fungsi 

Relasi dan Funsi

Relasi bisa diartikan sebagai suatu aturan yang menghubungkan suatu himpunan dengan himpunan lain. Himpunan A dan himpunan B dikatakan memiliki relasi jika ada anggota himpunan yang saling berpasangan. Relasi antara dua himpunan dapat dinyatakan dengan tiga cara yaitu dengan diagram panah, diagram Cartesius dan himpunan pasangan berurutan.

Contoh:

Diketahui 𝐴={0, 1, 2, 3, 4} dan 𝐵={1, 2, 3,4, 5, 6 }. Relasi “dua lebihnya dari” dari himpunan A ke himpunan B dapat dinyatakan dengan diagram panah, diagram Cartesius dan himpunan pasangan berurutan sebagai berikut

Diagram Panah

Diagram Cartesius

Himpunan  Pasangan Berurutan

R={(0,2),(1,3),(2,4),(3,5),(4,6)}$R=\{(0,2),(1,3),(2,4),(3,5),(4,6)\}$

Pengertian Fungsi

Suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi yang memasangkan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B. Semua anggota himpunan A atau daerah asal disebut domain, sedangkan semua anggota himpunan B atau daerah kawan disebut kodomain. Hasil dari pemetaan antara domain dan kodomain disebut range fungsi atau daerah hasil. Sama halnya dengan relasi, fungsi juga dapat dinyatakan dalam bentuk diagram panah, himpunan pasangan berurutan dan dengan diagram Cartesius.

Syarat Suatu Relasi Merupakan Fungsi

1) Setiap anggota himpunan A harus habis dipasangkan
2) Setiap anggota himpunan A dipasangkan dengan tepat satu anggota himpunan B

Contoh:

Diantara relasi berikut, manakah yang merupakan fungsi?

Jawab:

a) Fungsi

b) Bukan Fungsi, karena ada anggota himpunan A (domain) yang tidak dipasangkan

c) Bukan Fungsi, karena ada anggota himpunan A (domain) yang dipasangkan lebih dari satu kali

d) Fungsi

e) Bukan Fungsi, karena ada anggota himpunan A yang tidak dipasangkan

f) Fungsi

Notasi Fungsi

Fungsi yang memetakan himpunan A$A$ ke himpunan B$B$ ditulis dengan notasi f:A→B$f:A\to B$. 

Jika fungsi f$f$ memetakan x∈A$x\in A$ ke y∈B$y\in B$ maka y$y$ merupakan peta dari x$x$ sehingga dapat ditulis y=f(x)$y=f(x)$. 

Dalam hal ini:

➤ A$A$ disebut domain (daerah asal) dinotasikan Df$D_f$

➤ B$B$ disebut kodomain (daerah kawan) dinotasikan Kf$K_f$ 

➤ Anggota himpunan B$B$ yang merupakan pasangan himpunan A$A$ disebut range (daerah hasil) dinotasikan Rf$R_f$

Jenis-jenis Fungsi

1. Fungsi Konstan (Fungsi Tetap)

Suatu fungsi disebut fungsi konstan apabila untuk setiap anggota domain fungsi selalu berlaku f(x)=C$f(x)=C$, di mana C$C$ bilangan konstan

Contoh:

Diketahui f:R→R$f:R\to R$ dengan rumus f(x)=3$f(x)=3$

2. Fungsi Linear

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi linear apabila fungsi itu ditentukan oleh f(x)=ax+b$f(x)=ax+b$, di mana a≠0$a\ne 0$. grafiknya berupa garis lurus.

Contoh:

fungsi f(x)=2x+3$f(x)=2x+3$, merupakan fungsi linear dengan grafik sebagai berikut

3. Fungsi Kuadrat

Suatu fungsi f(x)$f(x)$ disebut fungsi kuadrat apabila fungsi itu ditentukan oleh f(x)=ax2+bx+c$f(x)=a{x}^2+bx+c$, di mana a≠0$a\ne 0$ dan a$a$, b$b$, dan c$c$ bilangan konstan dan grafiknya berupa parabola.

Contoh:

fungsi f(x)=x2+2x−3$f(x)=x^2+2x-3$ merupakan fungsi kuadrat dengan grafik sebagai berikut

4. Fungsi Identitas

Suatu fungsi f(x)$f(x)$ disebut fungsi identitas apabila setiap anggota domain fungsi berlaku f(x)=x$f(x)=x$ atau setiap anggota domain fungsi dipetakan pada dirinya sendiri. Grafik fungsi identitas berupa garis lurus yang melalui titik asal dan semua titik absis maupun ordinatnya sama.

5. Fungsi Modulus

Suatu fungsi f(x)$f(x)$ disebut fungsi modulus (mutlak) apabila fungsi ini memetakan setiap bilangan real pada domain fungsi ke unsur harga mutlaknya.

f:x→|x|$f:x\to |x|$ atau f:x→|ax+b|$f:x\to |ax+b|$

Contoh:

fungsi f(x)=|x|$f(x)=|x|$ dengan grafik sebagai berikut :

6. Fungsi Tangga (Bertingkat)

Suatu fungsi f(x)$f(x)$ disebut fungsi tangga apabila grafik fungsi f(x)$f(x)$ berbentuk interval-interval yang sejajar.

Contoh:

f(x)=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪−1jikax≤−10jika−1<x≤22jika2<x≤43jikax>4$f(x)=\{\begin{array}{c}-1\text{jika}x\le -1\\ 0\text{jika}-1<x\le 2\\ 2\text{jika}2<x\le 4\\ 3\text{jika}x>4\end{array}$

7. Fungsi Ganjil dan Fungsi Genap

Suatu fungsi f(x)$f(x)$ disebut fungsi ganjil apabila berlaku f(–x)=–f(x)$f(–x)=–f(x)$ dan disebut fungsi genap apabila berlaku f(–x)=f(x)$f(–x)=f(x)$

Contoh fungsi ganjil: f(x)=2x3+x$f(x)=2x^3+x$ 

Bukti:

f(−x)f(−x)=2(−x)3+(−x)=−2x3−x=−(2x3+x)=−f(x)$\begin{array}{rl}f(-x)& =2(-x{)}^3+(-x)\\ & =-2x^3-x\\ & =-(2x^3+x)\\ f(-x)& =-f(x)\end{array}$

Contoh fungsi genap: f(x)=2x2−5$f(x)=2x^2-5$ 

Bukti:

f(−x)f(−x)=2(−x)2−5=2x2−5=f(x)$\begin{array}{rl}f(-x)& =2(-x{)}^2-5\\ & =2x^2-5\\ f(-x)& =f(x)\end{array}$

Sifat-sifat Fungsi

1. Fungsi Injektif (Satu-satu)

Fungsi f:A→B$f:A\to B$ disebut fungsi injektif jika dan hanya jika untuk setiap a1$a_1$, a2∈A$a_2\in A$ dan a1≠a2$a_1\ne a_2$ maka berlaku f(a1)≠f(a2)$f(a_1)\ne f(a_2)$

2. Fungsi Surjektif (Onto)

Fungsi f:A→B$f:A\to B$ disebut fungsi surjektif jika dan hanya jika daerah hasil fungsi f$f$ sama dengan himpunan B$B$ atau Rf=B$R_f=B$

3. Fungsi Bijektif

Suatu fungsi disebut fungsi bijektif (korespondensi satu-satu) jika memiliki sifat injektif sekaligus surjektif